¿Cómo estimar el tamaño de un grupo a partir de un costo total?

Qué vas a lograr aquí y por qué vale tu tiempo

Empecemos por lo más importante: para qué estás aquí. Al terminar esta lección vas a poder mirar un valor pagado y deducir de él cuántos grupos se contrataron y entre cuántas personas pueden ser, usando solo una división y una multiplicación.

¿Y por qué vale la pena? Porque muchas cosas se cobran por grupo y no por persona: una buseta, un curso, una cancha, un guía de turismo. En esos casos casi siempre nos enseñan a ir en una dirección: sé cuántas personas son y calculo cuánto se paga. Aquí vas a aprender a recorrer el camino al revés, que es lo que hace quien revisa una cuenta, un recibo o un presupuesto. Es además una de las habilidades que mide la prueba Saber 11 de Matemáticas [F1].

Ahora te muestro las cartas, para que sepas por dónde vamos a pasar. Aquí abajo está la ruta de la lección, con sus siete paradas en orden. Tiene cuatro botones: toca «Para empezar», «Para entender», «Para practicar» y «Para llevarte», uno por uno, y verás qué paradas cubre cada parte y qué vas a hacer en ellas.

Ya viste el camino completo: empieza en una suposición, pasa por una prueba como las del examen y termina en un método que te llevas. Solo necesitas saber multiplicar y dividir, y tener papel y lápiz a la mano. Son unos 18 minutos. Vamos a la primera parada.

Supongamos que encuentras un recibo de 600.000 pesos por unas busetas

Primera parada de la ruta: la suposición. Supongamos que la junta de un barrio organizó un paseo al río y contrató busetas para llevar a los vecinos. Tú no fuiste. Días después te piden revisar las cuentas y lo único que encuentras es el recibo del transporte: se pagaron 600.000 pesos [F3].

La empresa de busetas trabaja con tres reglas, y están en la tarjeta de abajo. Toca «Precio», «Máximo» y «Mínimo», una por una, y fíjate bien en la primera: el precio es por la buseta entera.

Hay un dato más: la junta siempre contrata el menor número de busetas en el que quepan todos, para no pagar de más. Con esas reglas en la mano, supongamos que un vecino mira el recibo y dice: «Fácil. Con 600.000 pesos se pagan 3 busetas, y en cada una caben 20. Fueron 60 personas». Suena razonable, ¿verdad?

No lo vamos a resolver todavía. La pregunta queda abierta: ¿de verdad fueron 60 personas? La respondemos, con cuentas, en el segundo ejemplo. Antes necesitamos ponernos de acuerdo en tres palabras.

Antes de responder la suposición, pongámonos de acuerdo en tres palabras

Dejamos una pregunta abierta: ¿fueron 60 personas al paseo? Para responderla bien necesitamos tres palabras. Seguro las has oído; vamos a asegurarnos de que signifiquen lo mismo para todos.

La primera es costo de un grupo. Es lo que se paga por un grupo completo, sin importar cuántas personas vayan dentro. En el paseo, el grupo es la buseta y su costo es 200.000 pesos. A veces ese costo no viene escrito y hay que calcularlo. Supongamos un curso de 10 horas en el que cada hora cuesta 30.000 pesos por grupo [F3].

• Costo de un grupo del curso 10 × 30.000 = 300.000

La segunda palabra es en realidad una pareja: mínimo y máximo. Son los dos límites del tamaño de un grupo. El máximo es el tope: en una buseta van 20 personas o menos, nunca 21. El mínimo es el piso: con menos de 10, la buseta no sale. Un grupo es válido cuando su tamaño está entre esos dos números [F3].

La tercera es rango. Un rango es una respuesta que se da con dos números, «entre tanto y tanto», porque hay varios valores posibles y todos sirven. Por ejemplo: en una sola buseta pueden ir entre 10 y 20 personas. Cualquier número de esos es posible, y la buseta cuesta lo mismo.

Repasemos las tres palabras antes de seguir. En la tarjeta de abajo toca «Costo de un grupo», «Mínimo y máximo» y «Rango», uno por uno, y comprueba que cada dato es el que acabamos de ver.

Costo de un grupo, mínimo y máximo, y rango: con esas tres palabras claras ya podemos hacer cuentas. Vamos al primer ejemplo.

Primer ejemplo: el camino de ida, de las personas al valor que se paga

Ya tenemos las tres palabras. Antes de recorrer el camino al revés, hagámoslo en el sentido que ya conoces: sabemos cuántas personas van y calculamos cuánto se paga. Seguimos con las busetas de 200.000 pesos, con máximo 20 personas y mínimo 10 [F3].

Supongamos que van 18 personas. Caben en una buseta, así que se paga una. Ahora supongamos que van 21: ya no caben en una, hacen falta dos, y pueden ir 11 en una y 10 en la otra.

• 18 personas, 1 buseta 1 × 200.000 = 200.000
• 21 personas, 2 busetas 2 × 200.000 = 400.000

Sigamos subiendo. Con 40 personas se llenan dos busetas exactas, 20 y 20, y se siguen pagando dos. Con 41 ya no caben en dos, porque dos busetas llevan máximo 40, y hace falta la tercera.

• Máximo de personas en 2 busetas 2 × 20 = 40
• 40 personas, 2 busetas 2 × 200.000 = 400.000
• 41 personas, 3 busetas 3 × 200.000 = 600.000

Míralo en la tabla de abajo. Toca «18 personas», «21 personas», «40 personas» y «41 personas», en ese orden, y fíjate en la última fila. Hay dos momentos para observar con cuidado: el paso de 21 a 40 y el paso de 40 a 41.

Lo que acabas de ver tiene dos partes. La primera: 21 personas y 40 personas pagan exactamente lo mismo, 400.000 pesos. Casi el doble de gente, y el mismo recibo. La segunda: una sola persona más, la número 41, hace que el valor salte a 600.000.

Esa es la idea que nos llevamos de este primer ejemplo: cuando se cobra por grupo, un mismo valor pagado corresponde a muchas cantidades de personas distintas [F3]. Con eso en mente, ahora sí recorremos el camino al revés.

Segundo ejemplo: el camino de vuelta, y la respuesta a la suposición

En el primer ejemplo fuimos de las personas al valor. Ahora volvemos al recibo de 600.000 pesos y cerramos lo que dejamos abierto: ¿fueron 60 personas? Lo primero es saber cuántas busetas se pagaron, y para eso dividimos lo que se pagó entre el costo de una buseta [F3].

• Busetas que se pagaron 600.000 ÷ 200.000 = 3

Hasta ahí el vecino tenía razón: fueron 3 busetas. Ahora busquemos el máximo de personas, que es cuando las tres van llenas.

• Máximo de personas en 3 busetas 3 × 20 = 60

Entonces 60 es lo máximo que pudo ir. Pero ¿y lo mínimo? Aquí está el paso que casi nadie da. Recuerda el dato de la suposición: la junta contrata siempre las menos busetas posibles. Ya vimos que hasta 40 personas caben en dos. Si hubieran ido 40 o menos, la junta habría pagado dos busetas, y el recibo diría 400.000. Como dice 600.000, tuvieron que ir más de 40.

• Lo que cabe con una buseta menos 2 × 20 = 40
• Mínimo de personas con 3 busetas 40 + 1 = 41

Míralo completo en la tabla de abajo. Toca «1 buseta», «2 busetas» y «3 busetas», una por una. Cada botón es un recibo distinto; fíjate en cómo el mínimo de cada uno empieza justo donde terminó el máximo del anterior.

Ahí está la respuesta: el vecino acertó en las 3 busetas y se equivocó en lo demás. Lo que el recibo de 600.000 pesos permite afirmar es que fueron entre 41 y 60 personas. Pudieron ser 60, pero también 45 o 52, y el recibo sería idéntico.

Ahora vale la pena preguntarse por qué la frase «3 busetas de 20, fueron 60» sonaba tan convincente.

Las trampas en las que cayó el vecino, y casi todo el mundo

Acabamos de ver que el recibo solo permite dar un rango. El vecino cayó en una trampa muy común: supuso que todos los grupos iban llenos y convirtió el máximo en la respuesta. Hizo bien la división, y ahí dejó de pensar.

Hay otra trampa, más fina, que aparece cuando ya se sabe que la respuesta es un rango. Consiste en calcular el mínimo multiplicando el número de grupos por el mínimo de cada grupo. Con las busetas daría 3 × 10 = 30. El problema es que 30 personas caben en dos busetas, así que nadie habría pagado tres.

Vamos a ponerlas a prueba. Abajo hay cuatro afirmaciones sobre grupos y valores pagados. En cada una decide si es mito o realidad, toca tu respuesta y lee la explicación antes de pasar a la siguiente.

Guarda bien esas cuatro afirmaciones. Las tres que resultaron mito son justo las ideas que un examen usa como respuestas falsas, porque suenan bien. Ya las conoces; ahora te toca usarlas.

Tu turno: tres ejercicios para comprobar que ya lo tienes

Hasta aquí hice yo las cuentas y tú las seguiste. Ahora te toca a ti. Son tres ejercicios y van de menor a mayor dificultad: el primero pide el costo de un grupo, el segundo pide el número de grupos y el tercero pide el rango de personas, como en el caso de las busetas.

Están aquí abajo, uno a la vez. Haz las cuentas en papel antes de elegir, toca tu respuesta y lee la explicación. Después pasa al siguiente.

Si fallaste alguno, tranquilo: devuélvete a la parada donde vimos esa idea y vuelve a intentarlo. Si acertaste los tres, estás listo para la parada que te anuncié desde el principio: la prueba.

La prueba: una pregunta como las del examen Saber 11

Ya resolviste dos ejemplos y tres ejercicios. Ahora vas a usar lo mismo en una pregunta con el formato del examen Saber 11 de Matemáticas. Es una pregunta nueva, hecha para esta lección con el mismo tipo de razonamiento que la pregunta 4 del cuadernillo del Icfes, pero con otro contexto y otros números [F1].

El contexto esta vez es un hotel. Supongamos que una cadena de hoteles contrata una escuela de cocina que ofrece cuatro talleres. Cada taller se dicta en grupos de mínimo 15 y máximo 25 personas, todas de la misma área del hotel, y el valor de un grupo es el número de horas del taller por el valor de cada hora. El hotel arma siempre el menor número de grupos posible.

Abajo está la pregunta con la tabla de los cuatro talleres. Fíjate en que aquí el costo de un grupo no viene escrito: tienes que calcularlo con las horas y el valor por hora del taller que te nombran. Haz tus cuentas en papel y elige una opción. Cuando respondas, toca también las otras y lee por qué cada una es o no es la correcta: ahí vas a reconocer las trampas que ya vimos.

¿Lo notaste? Es el caso de las busetas con otro traje. La opción D es la trampa del mínimo: multiplica 3 grupos por 15 y arranca en 45, cuando 45 personas caben en dos grupos. Las opciones A y B corresponden a uno y a dos grupos, que se pagarían con otros valores. Al pie de la pregunta está lo que evalúa, según la clasificación del Icfes [F2]. Nos queda la última parada: ordenar todo lo que hiciste en un método.

El método que te llevas: cuatro pasos para ir de un valor pagado a las personas

Última parada. Repasemos lo que hicimos: planteamos una suposición, aclaramos tres palabras, resolvimos dos ejemplos, miramos las trampas, practicaste y pasaste la prueba. Todo eso cabe en un método de cuatro pasos, que es el mismo que usaste con las busetas, con los botes y con los talleres del hotel.

1. Halla el costo de un grupo. Si no viene escrito, calcúlalo con los datos, por ejemplo horas por valor de la hora.
2. Divide lo que se pagó entre el costo de un grupo. El resultado es el número de grupos.
3. Multiplica el número de grupos por el máximo de cada grupo. Ese es el máximo de personas.
4. Calcula cuántas personas caben con un grupo menos y súmale una. Ese es el mínimo de personas.

El diagrama de abajo es ese mismo método en una sola línea, para que lo recuerdes de un vistazo. Toca «Paso 1», «Paso 2», «Paso 3» y «Paso 4» y repite cada uno con tus palabras.

Y una advertencia para que el método no te falle: el paso 4 funciona porque nadie paga un grupo que no necesita. Revisa que el enunciado lo diga o lo deje entender antes de usarlo [F3]. La próxima vez que alguien mire un recibo y te diga «fueron 60», ya sabes qué responder: «fueron entre 41 y 60».