¿Cómo cambia el área de una figura cuando cambian sus lados?

Qué vas a lograr aquí y por qué vale tu tiempo

Empecemos por lo más importante: para qué estás aquí. Al terminar esta lección vas a poder decir, con una cuenta corta, cuánto cambia el borde de un cuadrado y cuánto cambia su superficie cuando sus lados se agrandan o se achican.

¿Y por qué vale la pena? Porque hay cosas que se compran por longitud, como la malla de un cerramiento o el marco de un cuadro, y cosas que se compran por superficie, como las baldosas, la pintura o la semilla. Cuando una figura crece, las dos no crecen al mismo ritmo, y quien las confunde compra de menos o paga de más. Es además una de las habilidades que mide la prueba Saber 11 de Matemáticas [F1].

Antes de mostrarte el camino, pruébate con una pregunta que parece fácil. Respóndela aquí abajo con lo primero que pienses, y lee la explicación [F3].

Si respondiste 8.000, pensaste lo que piensa casi todo el mundo: el doble de lado, el doble de todo. De eso trata esta lección: de por qué el borde y la superficie de una figura no crecen al mismo ritmo. El camino tiene siete paradas. Empezamos con una suposición que deja una pregunta abierta y con tres palabras para responderla. Seguimos con dos ejemplos resueltos y con las trampas más comunes. Después practicas con tres ejercicios y con una pregunta como las del examen. Y cerramos con un método de cuatro pasos que te llevas.

Solo necesitas saber multiplicar y dividir, y tener papel y lápiz a la mano. Son unos 18 minutos. Vamos a la primera parada.

Antes de responder la suposición, pongámonos de acuerdo en tres palabras

Dejamos una pregunta abierta: ¿alcanza con el doble de todo? Para responderla bien necesitamos tres palabras. Seguro las has oído; vamos a asegurarnos de que signifiquen lo mismo para todos.

La primera es perímetro. El perímetro es la medida del borde de una figura: lo que caminarías si le dieras la vuelta completa. En un cuadrado se halla multiplicando el lado por 4, porque tiene cuatro lados iguales. Es una longitud, y se mide en metros o en centímetros. La malla del huerto se compra por perímetro [F3].

• Perímetro del huerto pequeño 4 × 4 = 16 metros

La segunda es área. El área es la medida de la superficie que la figura encierra: lo que tendrías que cubrir para taparla toda. En un cuadrado se halla multiplicando el lado por el lado. Se mide en unidades cuadradas, como el metro cuadrado, que es un cuadrado de un metro por un metro. La semilla del huerto se compra por área [F3].

• Área del huerto pequeño 4 × 4 = 16 metros cuadrados

Fíjate en que los dos resultados dan 16, y aun así son cosas distintas: 16 metros de borde y 16 metros cuadrados de superficie. Es una coincidencia de este huerto.

La tercera es razón. Una razón compara dos medidas dividiendo una entre la otra, y se escribe como fracción. La razón entre el lado del huerto pequeño y el lado del grande es \(\frac{4}{8}\), que simplificada es \(\frac{1}{2}\): el lado pequeño es la mitad del grande.

Ya definimos las tres. Ahora compruébalo tú con un caso distinto. Supongamos un tablero cuadrado de 5 centímetros de lado. Abajo hay tres preguntas cortas sobre él: en cada una, usa la palabra que acabamos de ver.

Si respondiste bien las tres, ya tienes las palabras: perímetro, área y razón. Con eso podemos hacer cuentas. Vamos al primer ejemplo.

Primer ejemplo: tres cuadrados pequeños que se pueden contar

Ya tenemos las tres palabras. Antes de volver al huerto, miremos qué pasa con cuadrados tan pequeños que se pueden dibujar y contar. Supongamos que armas cuadrados con baldosas de 1 metro por 1 metro. Con una baldosa tienes un cuadrado de lado 1. Para hacer uno de lado 2 necesitas dos filas de dos baldosas. Para uno de lado 3, tres filas de tres [F3].

• Lado 1: perímetro y área 4 × 1 = 4  ·  1 × 1 = 1
• Lado 2: perímetro y área 4 × 2 = 8  ·  2 × 2 = 4
• Lado 3: perímetro y área 4 × 3 = 12  ·  3 × 3 = 9

Míralo en la tabla de abajo. Toca «Lado 1», «Lado 2» y «Lado 3», en ese orden. Compara cómo crece la segunda fila con cómo crece la tercera.

Lo que acabas de ver es esto: el perímetro sigue al lado paso a paso. Lado doble, perímetro doble; lado triple, perímetro triple. El área va más rápido: con el lado doble se multiplica por 4, y con el lado triple se multiplica por 9.

¿De dónde salen el 4 y el 9? De multiplicar el cambio del lado por sí mismo: 2 × 2 = 4 y 3 × 3 = 9. Tiene sentido, porque el área se calcula multiplicando el lado dos veces, y cada una de esas dos veces el lado creció [F3]. Esa es la regla que nos llevamos de este primer ejemplo. Ahora sí, volvamos al huerto.

Segundo ejemplo: los dos huertos, y la respuesta a la suposición

En el primer ejemplo vimos la regla con baldosas. Ahora la usamos con los huertos y cerramos lo que dejamos abierto: ¿alcanza con el doble de malla y el doble de semilla? Calculemos el perímetro y el área del huerto grande, que tiene 8 metros de lado [F3].

• Perímetro del huerto grande 4 × 8 = 32 metros
• Área del huerto grande 8 × 8 = 64 metros cuadrados

Ya teníamos las medidas del pequeño: 16 metros de perímetro y 16 metros cuadrados de área. Ahora comparamos cada medida del pequeño con la misma medida del grande, con una razón.

• Razón de los lados 4 ÷ 8 = 1/2
• Razón de los perímetros 16 ÷ 32 = 1/2
• Razón de las áreas 16 ÷ 64 = 1/4

Míralo en la tabla de abajo. Toca «Lados», «Perímetros» y «Áreas», uno por uno, y fíjate en la última fila de cada uno.

Ahí está la respuesta: quien hacía las compras acertó en la mitad. Con el doble de malla sí alcanza, porque el borde pasó de 16 a 32 metros. Con el doble de semilla no: la superficie pasó de 16 a 64 metros cuadrados, que es cuatro veces más. Con el doble de semilla solo se sembraría la mitad del huerto nuevo.

La regla también funciona cuando la razón no es tan redonda. Supongamos dos cuadrados de lados 4 y 5. La razón de los lados es \(\frac{4}{5}\). Mira qué pasa con los perímetros y con las áreas.

• Razón de los perímetros 16 ÷ 20 = 4/5
• Razón de las áreas 16 ÷ 25 = 16/25
• La razón de los lados, por sí misma 4/5 × 4/5 = 16/25

Otra vez: los perímetros repiten la razón de los lados, y las áreas tienen esa razón multiplicada por sí misma, que es lo mismo que elevarla al cuadrado. Ahora vale la pena preguntarse por qué la frase «mide el doble, compremos el doble de todo» sonaba tan convincente.

Las trampas en las que cayó quien hacía las compras, y casi todo el mundo

Acabamos de ver que la semilla había que multiplicarla por cuatro. Quien dijo «el doble de todo» cayó en una trampa muy común: creyó que cuando una figura crece, todas sus medidas crecen igual. Eso es cierto para las longitudes, como el lado y el perímetro, y deja de serlo para la superficie.

Lo que hace difícil ver la trampa es que la primera parte sí funciona. El perímetro se duplica, uno lo comprueba, y da por hecho que con el área pasa lo mismo.

Vamos a ponerlas a prueba. Abajo hay cuatro afirmaciones sobre cuadrados. En cada una decide si es mito o realidad, toca tu respuesta y lee la explicación antes de pasar a la siguiente.

Guarda bien esas cuatro afirmaciones. Las dos que resultaron mito son justo las ideas que un examen usa como respuestas falsas, porque suenan bien. Ya las conoces; ahora te toca usarlas.

Tu turno: tres ejercicios para comprobar que ya lo tienes

Hasta aquí hice yo las cuentas y tú las seguiste. Ahora te toca a ti. Son tres ejercicios y van de menor a mayor dificultad: en el primero puedes calcular las dos áreas, en el segundo solo te dan una razón y el tercero se parece al caso del huerto.

Están aquí abajo, uno a la vez. Haz las cuentas en papel antes de elegir, toca tu respuesta y lee la explicación. Después pasa al siguiente.

Si fallaste alguno, tranquilo: devuélvete a la parada donde vimos esa idea y vuelve a intentarlo. Si acertaste los tres, estás listo para la parada que te anuncié desde el principio: la prueba.

La prueba: una pregunta como las del examen Saber 11

Ya resolviste dos ejemplos y tres ejercicios. Ahora vas a usar lo mismo en una pregunta con el formato del examen Saber 11 de Matemáticas. Es una pregunta nueva, hecha para esta lección con el mismo tipo de razonamiento que la pregunta 7 del cuadernillo del Icfes, pero con otro contexto y otros números [F1].

El contexto esta vez es una maceta. Supongamos que Lucía tiene una maceta con base y boca cuadradas, y que la boca es más ancha que la base. Una cinta elástica de 20 cm rodea la base sin estirarse; al subirla, se estira hasta medir 25 cm en la boca. Lucía dice: «Como los perímetros están en razón \(\frac{20}{25} = \frac{4}{5}\), el área de la base es \(\frac{4}{5}\) del área de la boca».

Abajo está la pregunta con el dibujo de la maceta. Una palabra que vas a encontrar en las opciones es «semejantes»: dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y distinto tamaño, como dos cuadrados. Fíjate en que la cinta mide el borde de cada cuadrado, es decir, su perímetro. Haz tus cuentas en papel y elige una opción. Cuando respondas, toca también las otras y lee por qué cada una es o no es la correcta.

¿Lo notaste? Es el caso del huerto con otro traje. La opción A es la trampa de «todo crece igual». La C suena técnica, pero la cinta solo mide el borde. La B confunde el objeto con la medida: es una sola cinta, y mide 20 cm en un sitio y 25 en el otro. Al pie de la pregunta está lo que evalúa, según la clasificación del Icfes [F2]. Nos queda la última parada: ordenar todo lo que hiciste en un método.

El método que te llevas: cuatro pasos para comparar bordes y superficies sin confundirlos

Última parada. Repasemos lo que hicimos: planteamos una suposición, aclaramos tres palabras, resolvimos dos ejemplos, miramos las trampas, practicaste y pasaste la prueba. Todo eso cabe en un método de cuatro pasos, que es el mismo que usaste con las baldosas, con los huertos y con la maceta de Lucía.

1. Halla la razón de los lados de los dos cuadrados. Si te dan los perímetros, su razón es la misma.
2. Pregúntate qué te piden comparar: un borde, que es una longitud, o una superficie.
3. Si es una longitud, como el lado o el perímetro, la razón es la misma de los lados.
4. Si es el área, multiplica la razón de los lados por sí misma.

Para que veas que el método sirve con cualquier caso, vamos a usarlo una vez más con uno que no hemos tocado. Supongamos dos cuadrados cuyos perímetros miden 12 centímetros y 20 centímetros, y que te preguntan en qué razón están sus áreas. Antes de tocar cada botón de la tabla de abajo, haz tú la cuenta de ese paso; después toca «Paso 1», «Paso 2», «Paso 3» y «Paso 4» y compara con tu resultado.

Y una comprobación para que el método no te falle: cuando tengas dudas, ponle números a los lados, calcula las dos áreas y divide, como hicimos con los huertos [F3]. La próxima vez que alguien diga «mide el doble, compremos el doble de todo», ya sabes qué preguntar: ¿el doble de borde o el doble de superficie?