¿Cómo leer una tabla de precios a la inversa?

Qué vas a lograr aquí y por qué vale tu tiempo

Empecemos por lo más importante: para qué estás aquí. Al terminar esta lección vas a poder tomar un valor pagado y una tabla de precios y descubrir, con cuentas sencillas, cuál de las opciones de la tabla fue la que se contrató.

¿Y por qué vale la pena? Porque una tabla casi siempre se lee en una dirección: busco la fila que me interesa y veo cuánto cuesta. Leerla al revés, desde el resultado hacia la fila, es lo que hace quien revisa una factura, audita un gasto o quiere saber si le cobraron lo que pidió. Y tiene una trampa: a veces el valor pagado calza perfecto con una fila que no es la correcta. Es además una de las habilidades que mide la prueba Saber 11 de Matemáticas [F1].

Antes de mostrarte el camino, pruébate con una pregunta que parece fácil. Respóndela aquí abajo sin hacer muchas cuentas, con lo primero que pienses, y lee la explicación [F3].

Ahí está la dificultad de leer una tabla de precios al revés: un mismo valor pagado puede venir de compras distintas, y solo un segundo dato permite decidir. En esta lección ese segundo dato será el número de personas. El camino tiene siete paradas. Empezamos con una suposición que deja una pregunta abierta y con tres palabras para responderla. Seguimos con dos ejemplos resueltos y con las trampas más comunes. Después practicas con tres ejercicios y con una pregunta como las del examen. Y cerramos con un método de cuatro pasos que te llevas.

Solo necesitas saber multiplicar y dividir, y tener papel y lápiz a la mano. Son unos 18 minutos. Vamos a la primera parada.

Supongamos que un coro de 16 personas pagó 240.000 pesos en una escuela de música

Primera parada de la ruta: la suposición. Supongamos que una escuela de música ofrece tres cursos: Guitarra, Piano y Canto. Cada curso se dicta por grupos de máximo 10 personas, y un grupo cuesta el número de clases del curso por el valor de cada clase. La escuela arma siempre el menor número de grupos en el que quepan todos [F3].

Los tres cursos están en la tarjeta de abajo. Toca «Guitarra», «Piano» y «Canto», uno por uno, y fíjate en la última fila, que ya trae hecha la multiplicación de cada uno.

Ahora supongamos que el coro de un barrio, que tiene 16 personas, tomó uno de esos cursos, y que en las cuentas del coro solo aparece esto: «Escuela de música: 240.000 pesos». Alguien revisa la tabla y dice: «Ahí está. Un grupo de Piano cuesta 240.000. Tomaron Piano». Suena razonable, ¿verdad?

No lo vamos a resolver todavía. La pregunta queda abierta: ¿el coro tomó el curso de Piano? La respondemos, con cuentas, en el segundo ejemplo. Antes necesitamos ponernos de acuerdo en tres palabras.

Antes de responder la suposición, pongámonos de acuerdo en tres palabras

Dejamos una pregunta abierta: ¿fue Piano el curso del coro? Para responderla bien necesitamos tres palabras. Seguro las has oído; vamos a asegurarnos de que signifiquen lo mismo para todos.

La primera es costo de un grupo. Es lo que se paga por un grupo completo de un curso, sin importar cuántas personas tenga. Cada fila de la tabla tiene el suyo, y se calcula con los datos de esa fila. El de Guitarra, por ejemplo [F3]:

• Costo de un grupo de Guitarra 10 × 25.000 = 250.000

La segunda es valor pagado. Es el total que aparece en el recibo, por todos los grupos que se armaron. Si solo hubo un grupo, el valor pagado es igual al costo de un grupo. Si hubo más, es ese costo multiplicado por el número de grupos. Supongamos 3 grupos de Canto:

• Valor pagado por 3 grupos de Canto 3 × 120.000 = 360.000

La tercera es descartar. Descartar es probar una fila de la tabla con las cuentas y eliminarla cuando el resultado no coincide con lo que se pagó. Leer una tabla al revés consiste en eso: se prueba cada fila y queda en pie la única que coincide.

Ya definimos las tres. Ahora compruébalo tú con un caso distinto. Supongamos que un gimnasio dicta un curso de baile por grupos: son 8 sesiones y cada sesión cuesta 20.000 pesos por grupo. Una empresa pagó 480.000 pesos por ese curso. Abajo hay tres preguntas cortas sobre esa frase.

Si respondiste bien las tres, ya tienes las palabras: costo de un grupo, valor pagado y descartar. Con eso podemos hacer cuentas. Vamos al primer ejemplo.

Primer ejemplo: un solo grupo, y la tabla leída al revés

Ya tenemos las tres palabras. Empecemos por el caso más sencillo, en el que todos caben en un grupo. Supongamos que 8 vecinos tomaron uno de los cursos de la escuela y pagaron 250.000 pesos. ¿Cuál curso fue? [F3]

Lo primero es mirar cuántos grupos hubo. Son 8 personas y en un grupo caben hasta 10, así que hubo un solo grupo. Entonces el valor pagado es el costo de un grupo: 250.000 pesos. Ahora probamos las tres filas de la tabla.

• Un grupo de Guitarra 10 × 25.000 = 250.000
• Un grupo de Piano 6 × 40.000 = 240.000
• Un grupo de Canto 12 × 10.000 = 120.000

Míralo en la tabla de abajo. Toca «Guitarra», «Piano» y «Canto», uno por uno, y fíjate en la última fila: solo una dice «sí».

Lo que acabas de ver es la lectura al revés en su forma más simple: partimos de 250.000 pesos, probamos las tres filas, descartamos dos y quedó Guitarra. Los 8 vecinos tomaron Guitarra.

Fíjate en un detalle que nos va a servir enseguida: pudimos comparar el valor pagado directamente con la tabla porque hubo un solo grupo [F3]. Ahora veamos qué pasa cuando hay más de uno.

Segundo ejemplo: el coro de 16 personas, y la respuesta a la suposición

En el primer ejemplo había un solo grupo. Ahora volvemos al coro y cerramos lo que dejamos abierto: ¿tomaron Piano? Hacemos lo mismo que antes y en el mismo orden. Lo primero es mirar cuántos grupos hubo. El coro tiene 16 personas y en un grupo caben máximo 10 [F3].

• Personas que caben en 1 grupo 1 × 10 = 10
• Personas que caben en 2 grupos 2 × 10 = 20

Los 16 no caben en un grupo y sí caben en dos. Entonces el coro pagó 2 grupos, y los 240.000 pesos del recibo son el valor de los dos juntos. Para saber cuánto costó cada grupo, dividimos.

• Costo de cada grupo del coro 240.000 ÷ 2 = 120.000

Ese es el número que hay que buscar en la tabla: 120.000 por grupo. Míralo en la tarjeta de abajo. Toca «Guitarra», «Piano» y «Canto», uno por uno. Esta vez cada curso muestra lo que costarían sus dos grupos.

Ahí está la respuesta: el coro tomó Canto. Quien revisó las cuentas vio que 240.000 calzaba con un grupo de Piano y se quedó con eso, pero en un grupo de Piano solo caben 10 personas y el coro tiene 16. Para que los 16 tomaran Piano habría que pagar 480.000 pesos.

Ahora vale la pena preguntarse por qué la frase «un grupo de Piano cuesta 240.000» sonaba tan convincente.

Las trampas en las que cayó quien revisó las cuentas, y casi todo el mundo

Acabamos de ver que el curso era Canto. Quien dijo «Piano» cayó en una trampa muy común: encontró en la tabla un número igual al del recibo y dejó de buscar. El número era el mismo, pero uno era el costo de un grupo y el otro era el valor de dos.

Hay otra trampa cercana: dejarse guiar por un solo dato de la fila, como el valor de cada clase, sin hacer la multiplicación completa. Y hay una tercera: creer que el valor pagado, por sí solo, alcanza para saber qué se contrató.

Vamos a ponerlas a prueba. Abajo hay cuatro afirmaciones sobre tablas y valores pagados. En cada una decide si es mito o realidad, toca tu respuesta y lee la explicación antes de pasar a la siguiente.

Guarda bien esas cuatro afirmaciones. Las tres que resultaron mito son justo las ideas que un examen usa como respuestas falsas, porque suenan bien. Ya las conoces; ahora te toca usarlas.

Tu turno: tres ejercicios para comprobar que ya lo tienes

Hasta aquí hice yo las cuentas y tú las seguiste. Ahora te toca a ti. Son tres ejercicios y van de menor a mayor dificultad: el primero pide contar los grupos, el segundo pide el costo de cada grupo y el tercero se parece al caso del coro.

Están aquí abajo, uno a la vez. Haz las cuentas en papel antes de elegir, toca tu respuesta y lee la explicación. Después pasa al siguiente.

Si fallaste alguno, tranquilo: devuélvete a la parada donde vimos esa idea y vuelve a intentarlo. Si acertaste los tres, estás listo para la parada que te anuncié desde el principio: la prueba.

La prueba: una pregunta como las del examen Saber 11

Ya resolviste dos ejemplos y tres ejercicios. Ahora vas a usar lo mismo en una pregunta con el formato del examen Saber 11 de Matemáticas. Es una pregunta nueva, hecha para esta lección con el mismo tipo de razonamiento que la pregunta 6 del cuadernillo del Icfes, pero con otro contexto y otros números [F1].

El contexto esta vez es un hotel. Supongamos que una cadena de hoteles contrata una escuela de cocina que ofrece cuatro talleres. Cada taller se dicta en grupos de mínimo 15 y máximo 25 personas, todas de la misma área del hotel, y el valor de un grupo es el número de horas del taller por el valor de cada hora. El hotel arma siempre el menor número de grupos posible.

Abajo está la pregunta con la tabla de los cuatro talleres. Fíjate en que la tabla no trae el costo de un grupo: tienes que calcularlo para cada fila. Y antes de eso, revisa cuántos grupos hacen falta para las personas que te nombran. Haz tus cuentas en papel y elige una opción. Cuando respondas, toca también las otras y lee por qué cada una es o no es la correcta.

¿Lo notaste? Es el caso del coro con otro traje. Quien compara los $ 800.000 directamente con la tabla no encuentra ninguna fila que coincida, o se queda con la que más se le parece. Solo después de contar los 2 grupos y dividir aparece el número que sí está en la tabla: $ 400.000. Al pie de la pregunta está lo que evalúa, según la clasificación del Icfes [F2]. Nos queda la última parada: ordenar todo lo que hiciste en un método.

El método que te llevas: cuatro pasos para leer una tabla desde el valor pagado

Última parada. Repasemos lo que hicimos: planteamos una suposición, aclaramos tres palabras, resolvimos dos ejemplos, miramos las trampas, practicaste y pasaste la prueba. Todo eso cabe en un método de cuatro pasos, que es el mismo que usaste con la escuela de música, con el centro deportivo y con los talleres del hotel.

1. Cuenta cuántos grupos se armaron: compara el número de personas con el máximo de cada grupo.
2. Divide el valor pagado entre el número de grupos. El resultado es lo que costó cada grupo.
3. Calcula el costo de un grupo de cada fila de la tabla con sus propios datos.
4. Descarta las filas que no coinciden. La que queda es la respuesta.

Para que veas que el método sirve con cualquier caso, vamos a usarlo una vez más con uno que no hemos tocado. Supongamos que un club de 26 personas pagó 900.000 pesos por un curso que se dicta en grupos de máximo 10. Los cursos posibles son tres: Fotografía, de 12 horas a 25.000 pesos la hora; Dibujo, de 10 horas a 45.000; y Cerámica, de 9 horas a 40.000. Antes de tocar cada botón de la tabla de abajo, haz tú la cuenta de ese paso; después toca «Paso 1», «Paso 2», «Paso 3» y «Paso 4» y compara con tu resultado.

Y una advertencia para que el método no te falle: prueba todas las filas, aunque la primera ya coincida. Así compruebas que solo una sirve [F3]. La próxima vez que alguien encuentre en una tabla un número igual al del recibo, ya sabes qué preguntar: ¿y cuántos grupos se pagaron?