¿Cómo calcular el valor unitario de un servicio grupal?

Qué vas a lograr aquí y por qué vale tu tiempo

Empecemos por lo más importante: para qué estás aquí. Al terminar esta lección vas a poder calcular cuánto le toca pagar a cada persona cuando un servicio se cobra por grupo y la cuenta se reparte por igual entre todos.

¿Y por qué vale la pena? Porque repartir una cuenta es de las cosas que más se hacen con matemáticas fuera del colegio: la cancha, el transporte de un paseo, el salón de una fiesta, un curso. Y es fácil hacerlo mal, porque hay un paso que se suele saltar: contar cuántos grupos se necesitan antes de dividir. Quien se lo salta recoge menos plata de la que debe pagar. Es además una de las habilidades que mide la prueba Saber 11 de Matemáticas [F1].

Antes de mostrarte el camino, mira algo que casi nadie espera. Supongamos un paseo en bote: cada bote cuesta 40.000 pesos y lleva máximo 4 personas. Uno pensaría que entre más amigos vayan, menos paga cada uno. En la gráfica de abajo están las dos versiones: toca primero «Lo que uno espera» y después «Lo que pasa», y fíjate en la tercera barra [F3].

Ese salto de la tercera barra es el tema de esta lección: por qué aparece, cómo se calcula y cómo evitar que te sorprenda. El camino tiene siete paradas. Empezamos con una suposición que deja una pregunta abierta y con tres palabras para responderla. Seguimos con dos ejemplos resueltos y con las trampas más comunes. Después practicas con tres ejercicios y con una pregunta como las del examen. Y cerramos con un método de cuatro pasos que te llevas.

Solo necesitas saber multiplicar y dividir, y tener papel y lápiz a la mano. Son unos 18 minutos. Vamos a la primera parada.

Antes de responder la suposición, pongámonos de acuerdo en tres palabras

Dejamos una pregunta abierta: ¿alcanza con 6.000 pesos por persona? Para responderla bien necesitamos tres palabras. Seguro las has oído; vamos a asegurarnos de que signifiquen lo mismo para todos.

La primera es costo de un grupo. Es lo que se paga por un grupo completo, sin importar cuántas personas tenga. En las canchas, el grupo es la cancha y su costo es 90.000 pesos [F3].

La segunda es costo total. Es lo que se paga por todos los grupos que se usan. Se halla multiplicando el costo de un grupo por el número de grupos. Supongamos que se alquilan 3 canchas.

• Costo total de 3 canchas 3 × 90.000 = 270.000

La tercera es cuota. La cuota es lo que paga cada persona cuando el costo total se reparte por igual. Se halla dividiendo el costo total entre el número de personas. Supongamos que esas 3 canchas las pagan 30 personas.

• Cuota de cada persona 270.000 ÷ 30 = 9.000

Ya definimos las tres. Ahora compruébalo tú con un caso distinto, porque en un enunciado los tres números vienen mezclados y hay que saber cuál es cuál. Supongamos que un colegio contrata 2 buses para una salida; cada bus cuesta 300.000 pesos, y los 40 estudiantes pagan por igual 15.000 pesos cada uno. Abajo hay tres preguntas cortas sobre esa frase: en cada una, elige el número que corresponde a la palabra.

Si reconociste los tres números, ya tienes las palabras: costo de un grupo, costo total y cuota. Con eso podemos hacer cuentas. Vamos al primer ejemplo.

Primer ejemplo: una sola cancha, repartida entre los que juegan

Ya tenemos las tres palabras. Empecemos por el caso más sencillo: todos caben en una sola cancha. Así vemos cómo se comporta la cuota antes de complicar las cosas. Seguimos con la cancha de 90.000 pesos y máximo 10 jugadores [F3].

Supongamos que solo llegan 6 amigos. Caben en una cancha, así que el costo total es 90.000. Ahora supongamos que llegan 9, y después que llegan 10. Siguen cabiendo en una, y el costo total sigue siendo el mismo.

• Cuota con 6 amigos 90.000 ÷ 6 = 15.000
• Cuota con 9 amigos 90.000 ÷ 9 = 10.000
• Cuota con 10 amigos 90.000 ÷ 10 = 9.000

Míralo en la tabla de abajo. Toca «6 amigos», «9 amigos» y «10 amigos», en ese orden. Fíjate en que la segunda fila nunca cambia y la tercera sí.

Lo que acabas de ver es esto: mientras todos quepan en un grupo, el costo total se queda quieto, y entre más personas lo reparten, menos paga cada una. Con la cancha llena se llega a la cuota más baja, que es de 9.000 pesos.

Esa es la idea que nos llevamos de este primer ejemplo: dentro de un mismo grupo, la cuota baja cuando entran más personas [F3]. Ahora veamos qué pasa cuando ya no caben.

Segundo ejemplo: los 15 amigos, y la respuesta a la suposición

En el primer ejemplo todos cabían en una cancha. Ahora volvemos a los 15 amigos y cerramos lo que dejamos abierto: ¿alcanza con 6.000 pesos por persona? Lo primero, antes de dividir nada, es preguntarse cuántas canchas hacen falta. En una caben máximo 10, y son 15 [F3].

• Jugadores que caben en 1 cancha 1 × 10 = 10
• Jugadores que caben en 2 canchas 2 × 10 = 20

Con una cancha quedan 5 amigos por fuera. Con dos caben los 15. Entonces se necesitan 2 canchas, y con ese dato ya podemos calcular el costo total y la cuota.

• Costo total de 2 canchas 2 × 90.000 = 180.000
• Cuota de cada amigo 180.000 ÷ 15 = 12.000

Compara las dos cuentas en la tabla de abajo. Empieza en «La cuenta del amigo» y luego toca «La cuenta completa». Al final toca «Si fueran 20», para ver qué pasaría si las dos canchas se llenaran.

Ahí está la respuesta: con 6.000 pesos por persona no alcanza. Los 15 amigos reunirían 90.000 pesos y la cuenta es de 180.000: les faltaría la mitad. La cuota correcta es 12.000 pesos, el doble de lo que dijo el amigo.

• Lo que reunirían con 6.000 cada uno 15 × 6.000 = 90.000
• Lo que reúnen con 12.000 cada uno 15 × 12.000 = 180.000

Ahora vale la pena preguntarse por qué la frase «noventa mil entre quince» sonaba tan convincente.

Las trampas en las que cayó el amigo, y casi todo el mundo

Acabamos de ver que la cuota era el doble. El amigo cayó en una trampa muy común: tomó el primer precio que vio, el de una cancha, y lo dividió entre todos sin preguntarse si todos cabían. La división estaba bien hecha; lo que estaba mal era el número que dividió.

Hay dos trampas cercanas. Una es responder con un número que sí aparece en las cuentas, pero que no es lo que se preguntó, como el costo de un grupo o el costo total. La otra es creer que más personas siempre significa pagar menos cada una.

Vamos a ponerlas a prueba. Abajo hay cuatro afirmaciones sobre cuentas que se reparten. En cada una decide si es mito o realidad, toca tu respuesta y lee la explicación antes de pasar a la siguiente.

Guarda bien esas cuatro afirmaciones. Las tres que resultaron mito son justo las ideas que un examen usa como respuestas falsas, porque suenan bien. Ya las conoces; ahora te toca usarlas.

Tu turno: tres ejercicios para comprobar que ya lo tienes

Hasta aquí hice yo las cuentas y tú las seguiste. Ahora te toca a ti. Son tres ejercicios y van de menor a mayor dificultad: el primero pide el costo total, el segundo pide la cuota con un solo grupo y el tercero se parece al caso de los 15 amigos.

Están aquí abajo, uno a la vez. Haz las cuentas en papel antes de elegir, toca tu respuesta y lee la explicación. Después pasa al siguiente.

Si fallaste alguno, tranquilo: devuélvete a la parada donde vimos esa idea y vuelve a intentarlo. Si acertaste los tres, estás listo para la parada que te anuncié desde el principio: la prueba.

La prueba: una pregunta como las del examen Saber 11

Ya resolviste dos ejemplos y tres ejercicios. Ahora vas a usar lo mismo en una pregunta con el formato del examen Saber 11 de Matemáticas. Es una pregunta nueva, hecha para esta lección con el mismo tipo de razonamiento que la pregunta 5 del cuadernillo del Icfes, pero con otro contexto y otros números [F1].

El contexto esta vez es un hotel. Supongamos que una cadena de hoteles contrata una escuela de cocina que ofrece cuatro talleres. Cada taller se dicta en grupos de mínimo 15 y máximo 25 personas, todas de la misma área del hotel, y el valor de un grupo es el número de horas del taller por el valor de cada hora.

Abajo está la pregunta con la tabla de los cuatro talleres. Fíjate en dos cosas: el costo de un grupo no viene escrito, hay que calcularlo, y el número de personas es mayor que el máximo de un grupo. Haz tus cuentas en papel y elige una opción. Cuando respondas, toca también las otras y lee por qué cada una es o no es la correcta: ahí vas a reconocer las trampas que ya vimos.

¿Lo notaste? Es el caso de las canchas con otro traje. La opción A es la cuenta del amigo: un solo grupo repartido entre todos. Las opciones C y D son números que sí salen en el camino, el costo de un grupo y el costo total, pero ninguno es la cuota. Al pie de la pregunta está lo que evalúa, según la clasificación del Icfes [F2]. Nos queda la última parada: ordenar todo lo que hiciste en un método.

El método que te llevas: cuatro pasos para repartir una cuenta sin quedarte corto

Última parada. Repasemos lo que hicimos: planteamos una suposición, aclaramos tres palabras, resolvimos dos ejemplos, miramos las trampas, practicaste y pasaste la prueba. Todo eso cabe en un método de cuatro pasos, que es el mismo que usaste con las canchas, con el curso y con los talleres del hotel.

1. Halla el costo de un grupo. Si no viene escrito, calcúlalo con los datos, por ejemplo horas por valor de la hora.
2. Cuenta cuántos grupos hacen falta: compara el número de personas con el máximo de cada grupo.
3. Multiplica el costo de un grupo por el número de grupos. Ese es el costo total.
4. Divide el costo total entre el número de personas. Esa es la cuota.

Para que veas que el método sirve con cualquier caso, vamos a usarlo una vez más con uno que no hemos tocado. Supongamos que 28 personas cruzan un río en lanchas; cada lancha cuesta 70.000 pesos y lleva máximo 8 personas. Antes de tocar cada botón de la tabla de abajo, haz tú la cuenta de ese paso; después toca «Paso 1», «Paso 2», «Paso 3» y «Paso 4» y compara con tu resultado.

Y una comprobación para que el método no te falle: multiplica la cuota por el número de personas. Si el resultado es el costo total, la cuenta está bien [F3]. La próxima vez que alguien diga «noventa mil entre quince», ya sabes qué preguntar: ¿y los quince caben en una sola cancha?